2017年高考理科数学三轮冲刺热点题型 压轴大题突破练(三) 函数与导数(1)

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压轴大题突破练(三)　函数与导数(1)1.已知函数f(x)＝(x2－2ax＋2)ex.(1)函数f(x)在x＝0处的切线方程为2x＋y＋b＝0，求a，b的值；(2)当a＞0时，若曲线y＝f(x)上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围.解　(1)f(x)＝(x2－2ax＋2)ex，f(0)＝2e0＝2，2＋b＝0，得b＝－2.f′(x)＝(x2－2ax＋2＋2x－2a)ex＝[x2＋(2－2a)x＋2－2a]ex，f′(0)＝2－2a＝－2，得a＝2，∴a＝2，b＝－2.(2)f′(x)＝[x2＋(2－2a)x＋2－2a]ex，令h(x)＝f′(x)，依题意知存在k使h(x)＝k有三个不同的实数根，h′(x)＝(x2－2ax＋2＋2x－2a＋2x－2a＋2)ex＝[x2＋(4－2a)x＋4－4a]ex，令h′(x)＝[x2＋(4－2a)x＋4－4a]ex＝0，得x1＝－2，x2＝2a－2.由a＞0知x1＜x2，则f′(x)在(－∞，－2)，(2a－2，＋∞)上单调递增，在(－2，2a－2)上单调递减.当x→－∞时，f′(x)→0，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，∴f′(x)的极大值为f′(－2)＝e－2(2a＋2)，f′(x)的极小值为f′(2a－2)＝e2a－2(2－2a)，∴此时e2a－2(2－2a)＜k＜e－2(2a＋2).2.(2016·四川)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数).解　(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.此时，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增.(2)令g(x)＝－，s(x)＝ex－1－x.则s′(x)＝ex－1－1.而当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增.又由s(1)＝0，有s(x)>0，从而当x>1时，g(x)>0.当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.当01.由(1)有f0，所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立.当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1).当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0.因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增.又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.综上，a∈.3.已知函数f(x)＝x2－lnx.(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)设函数g(x)＝f(x)－x2＋ax，a＞0，若x∈(0，e]时，g(x)的最小值是3，求实数a的值(e为自然对数的底数).解　(1)∵f(x)＝x2－lnx，∴f′(x)＝2x－.∴f′(1)＝1.又∵f(1)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.(2)∵函数f(x)＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－＜0，得0＜x＜.∴函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间是(0，).(3)∵g(x)＝ax－lnx，∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝.①当≥e，即0＜a≤时，g′(x)＝≤0在(0，e]上恒成立，则g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)；②当0＜＜e，即a＞时，列表如下：x(0，)(，e)eg′(x)－0＋g(x)↘极小值1＋lna↗ae－1由表知，g(x)min＝g()＝1＋lna＝3，a＝e2，满足条件.综上，所求实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时g(x)有最小值3.4.已知函数f(x)＝＋alnx－2(a>0).(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)若对∀x∈(0，＋∞)都有f(x)>2(a－1)成立，试求实数a的取值范围；(3)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R)，当a＝1时，函数g(x)在区间[e－1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.解　(1)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋，∴f′(1)＝－＋＝－1，解得a＝1，∴f(x)＝＋lnx－2，f′(x)＝，由f′(x)>0得x>2，由f′(x)<0得00)，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得02(a－1)成立，∴f()>2(a－1)，即＋aln－2>2(a－1)，∴aln>a，ln>1，00)，g′(x)＝，由g′(x)>0得x>1，由g′(x)<0得0

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